Out of sight, out of mind. 去るもの日々に疎し。(9)

昨日にもまして、今日はまた、ボーと生きております。

偏差値を計算していたら、面白くなってきましたので、試しに極端な例を考えて、偏差値というものがどういうものか、自分なりに考えをまとめてみたくなりました。

またまた、10人の生徒が100点満点のテストを受けたとしますが、これが次にこんな感じだとどうなるのか。ABCは生徒としまして、( )の中が素点といたします。

A(0) B(0) C(0) D(0) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0) J(100)
こうすれば10人の平均点が10点とすぐに出て参りました。ほとんどの子ができないで、一人だけ満点という、普通はあり得ない状況であります。これで偏差値が必要かどうかといえば、まったく要らないことは明白であります。

ともかく平均点との差を求め、それを二乗して平方数を求めてみます。
A~I(100) J(8100)

次にこの平方数をもとに、その平均を求めるわけですが、それを分散と呼ぶそうです。 
合計すると9100でありますから、分散は910となりました。

この分散の平方根が標準偏差と言われるもので、この標準偏差という言葉はいろんなところでよく聞いたものであります。二乗した平均の平方根でありますから、やはり何度考えても、煎餅を粉にして、お米の粒を作るような、面倒な印象ではありますが、まあやはり数学的な操作であります。
√910=30・17  標準偏差は30・17でいいでしょうか。異議なし。

さて、こうなってようやく偏差値に近付くわけですが、ここで最後の山は、平均点との差に10を掛けて、標準偏差で割るのであります。複雑なので(平均点との差→計算後)で表示するとどうなるか。

A~I(10→3・31)要するに、0点だった9人でありまして、9人とも平均点以下の人です。

J(90→29・83)こちらは、一人だけ満点の人であります。

さて最後の仕上げでありますが、標準偏差を使って求めた上の数字を、平均以下は50から引き、平均以上は50に足すんだそうで、これで偏差値がめでたく決定します。

A~I(46・69) J(79・83)

これで見て、何となく分かるのは、出来不出来に大きな差のある集団の時には、偏差値は機能しないということであります。そのことは、偏差値を考えた人も言っていることでありまして、分布のあり方がきれいな正規分布になっていて、平均点が人数が最も多く、高得点と低得点がなだらかな左右対称の形じゃないと意味がないそうであります。まあ、それならやっぱり偏差値出さなくてもいいかもとおもうのであります。0点でも、偏差値が46というのはびっくりでありますね。

ともかく、くどいようですが、二乗して平方根を出すというあたりで、世間は訳が分からないはず。こんなことを言うと、偏差値の好きな人や、計算が苦手な人に叱られそうであります。ましてや、極端な例を出したあたりで罵詈雑言を受けそうであります。

   自分でモデルケースを考えて計算してみると、理解が深まるのは事実であります。

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